2016年名大数学４問目
問題は以下のページから（河合塾のサイトです）
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/16/n01.html
４問目
（１）
解と係数の関係を使う問題。
解と係数の関係を使うと、6つの式が出てきた。
その6つの式を色々といじってみる。
cd=b ef=d ab=f -①
これらを全部掛け合わせると、abcdef=bdf -②
という式になった。
ここで注意すべきは、bdf=0の場合があるといことです。
bfd=0の場合、bdfで両辺を割ることはできません。
なので、場合分けが必要です。
（ア）bdf=0のとき、
(ⅰ)少なくともb=0
このとき、式にb=0を代入していくと、a,b,c,d,e,f全てが0になる。
(ⅱ)少なくともd=0
このときもa,b,c,d,e,f全て0になる。
(ⅲ)少なくともf=0
このときもa,b,c,d,e,f全て0になる。
（イ）bfd≠0のとき
②はace=1となる。
ace=1となる組み合わせをすべて書き出してみる。
そうすると、(a,c,e)=(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1),(1.-1,-1)
黄色のとき、(b,d,f)=(-2,-2,-2)
このときは式に代入して全てが成立するため、適する。
青のとき、(b,d,f)=(0,0,0)
このときはbfd=0となるので、不適。
緑のとき、(b,d,f)=(0,0,0)
このときはbfd=0となるので不適。
赤のとき
このときは、c+d=-aにc=-1,d=2,a=1を代入すると、1=-1となり不適。
よって答えは、
(a,b,c,d,e,f)=(0,0,0,0,0,0),(1,-2,1,-2,1,-2)
（２）
（ⅰ）
これは自分なりに解答を書いてみました。
存在することを示すためには、確かに存在することが示せればOKです。
解と係数の関係をまず使って式を立てる。
an+1+bn+1=-an －③
an+1bn+1=bn －④
④より、bn=an+1an+2an+3・・・an+kbn+k (k=1,2,3,・・・）
n=mのとき、
仮にbm=0かつam+k≠0（k=0,1,2,3,・・・）とおくと、
bm=bm+k=0 （k=0,1,2,3,・・・）
つまりこの時
bm=bm+1=bm+2=・・・=0 －⑤
が成り立つ。
よって、bm=0かつam+k≠0（k=0,1,2,3,・・・）となるものが実際に存在したとすれば、⑤となるものは存在する。
bm=0かつam+k≠0（k=0,1,2,3,・・・）となるものが存在すると仮定する。
そのとき、⑤より、am+1=-amとなり、am=α(-1)^mとおける。（αは0以外の任意の整数）
am+k=α(-1)^(m+k)≠0 (k=0,1,2,3,・・・)
である。このとき、与式は、x^2+α(-1)^(m+k)x=0となり、確かにx=0,α(-1)^(m+k+1)=bm+k+1,am+k+1 (k=0,1,2,3,・・・)という２解（bm+k+1,am+k+1）が存在するため、題意の条件を満たす。
したがって、bm=0かつam+k≠0（k=0,1,2,3,・・・）となるものは存在する。
ゆえに⑤となるものは存在する。
↑自己流の証明なので、正しいかどうかはわかりません。参考程度にしてみてください。
（ⅱ）
bn=0のときは、上記より、an=α(-1)^n（αは0以外の整数）
an=bn=0と仮定すると、
an+1+bn+1=0
an+1bn+1=0
より、an+1=bn+1=0 an=bn=0を与式に代入すると、x^2=0 x=0=an+1=bn+1となり題意の条件を満たす。
よってαが0の場合も適するのでbn=0のときはan=α(-1)^n（αは整数）
bn≠0のときも、河合塾の解答より、bm=bm+1=bm+2=・・・となるmは存在する。bm=c（定数）とおく。
なぜbm=bm+1=bm+2=・・・
が成立する場合のみだけ考えてよいのかわかりませんでしたが、bm=bm+1=・・・を使えば解けるようです。
bm=bm+1=・・・
が成立しない場合はどうなるのかがわかりませんでした。