2016年名大数学２問目解説

問題は以下のページから（河合塾のサイトです）

２問目

（１）

円に関する問題

OPとx軸がなす角をθとしてある。

P(p,q)とおく。

OP=√(p^2+q^2)

p=OPcosθ　q=OPsinθ

P(p,q)は円C上にあるので・・・

として、直接p,qを求めようとしても計算が複雑になり、解くことは無理である。

なので、円Cの中心をAとすると、APとx軸がなす角が円周角の性質より、2θとなることを利用する。

そうすると、すぐに答えが出る。

（２）

円Dの中心をBとする。

図を描いてみて、⊿OPQにおいて、直線OPを底辺とみて、⊿OPQが最大となる点Qを探ってみると、

直線OPと直線BQが垂直であるとき（高さを表す線が、円の中心を通っているとき、かつそれが直線OPと垂直）であるとわかる。

円の中心を通る線のほうが他にひける線よりも長くなるのは当然。そして、直角のほうが長くなるのも当然。

その後、BQとx軸のなす角が90°＋θと図を見ながら算出し、(1)と同じ要領で答えを導く。

(3)

三角形の面積を求める公式を使う。

３点(0,0),(a,b),(c,d)

がわかっているとき、面積は、1/2|ad-bc|　という公式が使える。

出てきた式に対して、一部、加法定理を使って式を簡単にする。

そして、それを微分して増減表を書き、最大値を求める。

微分した式を、sinθに関して整理する。

その後、解の公式を使ってsinθ=・・・　　　　（河合塾の解説では、因数分解して求めている。）

として最大値をとると思われるsinθの値を求め、そのときのθをαとおく。

そして、そのときの値を三角形の面積の式に代入して最大値を算出する。