2012年京大数学をやってみた
問題は以下のページから（河合塾のサイトです）
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/12/k01.html
第１問 極限と積分の問題
（１）、（２）とも、京大を受験する人であれば解けなくてはならない問題だと思います。
（１）ははさみうちの原理を使用すると解けるみたいですが、
私は対数をとって、log(1+a^n)^1/n －①の極限を計算しました。
0≦a<1のとき①は、1/nlog(1+a^n)でn→∞のとき0つまり、log1 よってこのとき答えは1
a≧1のときは、①は(1/n)loga^n(1/a^n+1)=(1/n)loga^n+(1/n)log(1/a^n+1)=loga+(1/n)log(1/a^n+1)でn→∞のときloga よってこのとき答えはa
これは正しいかは不明です。
第２問 四面体の問題
これもとりたい問題だと思います。
PQ、PR、RQがそれぞれ、AB、AC、BCと平行なことを示すためには、OP:PA=OQ:QB=OR:RCとなることを示せばよいです。
つまり、OP:PA=a:1-a、OQ:QB=b:1-b、OR:RC＝c:1-cとおき、
OPベクトル＝aOAベクトル、OQベクトル＝bOBベクトル、ORベクトル＝cOCベクトルとなり、
少し省略しますが、
PQRが正三角形となる時、
|PRベクトル|^2=|PQベクトル|^2=|RQベクトル|^2 －①
を計算して出てくる式を
四面体が正四面体なのでOA=OB=OC、OAベクトル・OBベクトル＝|OAベクトル||OBベクトル|cos60°
などの式を用いて簡単にし、その現れた式を処理していけば答えが出ます。
第３問 関数のとる値の範囲を求める問題
これは典型的な問題だと思います。ですので、京大を受験する人であれば確実にとりたいところです。
ちなみに、私はできませんでしたが、たぶん、過去にはできたと思います。
よく見かける問題です。
x+y=tとおき、
x+yとxyの値から解と係数の関係を逆に使うのがポイントみたいです。
そうすると、X^2+tX+t^2-6=0 －①の解がxとyであり、
①は確かにxとyという２解（重解含む）を持つため①の判別式が0以上となることから、tのとりうる範囲を求めます。
その後は、x+y=t xy=t^2-6 を与式に代入して増減表を書いてどうなるかを見てみればよいということになります。
第４問 整式の問題
（１）は典型的な問題です。今回3√となっていますが、単に√となっている場合の証明はよく見かける問題です。その問題を一度でもやったことがあれば同じ方法でできます。
3√2=q/p （qとpは整数で互いに素）
有理数というと単にqとpが整数であるということだけでも表せますが、
今回、pとqが整数かつ互いに素というのは、q/pがそれ以上約分できない既約分数であることを示します。このように置いて差し支えないです。
（２）
P(x)=(x^3-2)Q(x)+ax^2+bx+c（a、b、cは有理数）と置けます。
P(x)=(x^3-2)Q(x)となることを示せばよいわけです。つまり、a=b=c=0ということが示せればよい。
題意より、P（3√2)=0なので、P(3√2)=a（3√2）^2+b(3√2）+c=0 となります。
たぶん、ここまでは多くの方ができると思いますが、ここからが難しいです。私も、大体ここまではできました。
ここから先は河合塾の解答を見ますと、
3√2=αと置き、α＝〇〇の形に表すことができればαが無理数であることと〇〇が有理数であることを利用すれば解けるみたいです。
第５問 図形の問題
できませんでした。こういう問題は苦手です。たぶん、差がつきやすい問題です。
(q)では、余弦定理を使ってみましたが・・・
AB^2=AC^2+BC^2-2ACBCcosC －①
AB^2=AD^2+BD^2-2ADBDcosD －②
①－② 2ADBDcosD-2ACBCcosC=-AC^2+AD^2-BC^2+BD^2>0 (AC<AD かつ BC<BDなので)
ADBDcosD-ACBCcosC>0
ADBDcosD>ACBCcosC
1<ADDB/ACBC>cosC/cosD (AC<AD かつ BC<BDなので)
となりどうにもなりませんでした。
第６問 図形の問題
かなり難しく感じました。解答を見てもいまいち理解できませんでした。とれなくてもよい問題だと思います。こういう問題を捨ててほかの問題を考えるというのも実力なのかもしれません。この問題を捨てて、第５問を考えれば第５問が解けたかもしれません。
以上が京大数学2012を解いてみた感想と解説になります。ちなみに私は４割～５割程度しかできませんでした。2012年は難しかったみたいなので、５～６割くらいとれれば合格ラインに届くのかもしれません。