2014年京大数学をやってみた（解説付き）
京大は実力が足らず、受験しませんでした。受験したのは１０年ほど前です。
問題は以下のページから（河合塾のサイトです）
http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/14/k01.html
第１問 空間ベクトルの問題
これは問題集でよくみかける典型的な問題だと思います。基本的な問題集をやっていれば解ける問題だと思いますが、受験からかなりの年数がたつ私では、解けませんでした。
答えを見たうえでの解説
PQベクトル、ORベクトル、OQベクトルをまず式で表します。ここは基本的な公式を押さえておけば簡単です。
次にPQとORが直交、PRとOQが直交することを式で表しますが、ここで注意すべきなのは、PQとOQが直交するのを直接計算するのではなく、PQとOQの方向ベクトルが直交することを使うことです。そうしないと計算が煩雑になり解けません。
表した式を解くと、未知数がわかり、PQベクトルとORベクトルをベクトルの簡単な式で表すことができます。
表した式から線分の長さ（PQとOR）がわかり、それを計算すれば答えが出ます。
第２問 確率の問題
これは大体できました。まず題意をしっかり理解し、点が重複する前の場合はどんな場合を考えていけば解けます。点が重複する場合の一つ前の段階でどのような状況になっているのかを考えます。そうすると、2つの場合に分けられます。
１、点2つが離れている→それぞれが同じ点に移る
２、点2つが同じ点→それぞれが同じ点に移る
それ以外の場合がないかどうかもよく考えておき、ないと考えられたら次に進みます。
次は、それぞれの場合において、確率がどうなるのかを考えます。
1の場合には、（n-1回目に離れている確率）×（それぞれが同じ点に移る確率）＝(1-P(n-1))×(1/2×1/2)
2の場合には、（n-1回目に同じ点にある確率）×（それぞれが同じ点に移る確率2パターン）＝(P(n-1))×(1/2×1/2×2)
よって求める確率は
1の場合と2の場合を足したものです。
そうすると、P(n)=1/4(1-P(n-1))となりますが、ここでの式変形が難しいところです。
この式はP(n)-1/3=1/4(P(n-1)-1)と式変形できます。
しかし、これに気付かなくてもできる方法があります。
それは、次々と代入して展開していく方法です。
P(n)=1/4+1/4P(n-1)=1/4+1/4(1/4+1/4P(n-2))=1/4+1/16+1/16P(n-2)
=1/4+1/16+1/64+1/64P(n-2)=1/4+1/16+...+1/(4^n)+1/(4^n)P(0)
さらにP(0)=1と、等比数列の公式を使って、
=(1/4(1-(1/4)^n))/(1-1/4)+1/(4^n)
式変形を行うと、答え1/3+2/3(1/4)^n
第３問 三角比、三角関数の問題
これも大体できましたが、三角関数の式変形につまずきました。
とりあえず条件を書き出してみましょう。
B=2A －①
BC＝１ －②
①より、C＝180°-3A －③
①、②より1=AB^2+AC^2-2ABACcosA －④ （余弦定理）
①、②より1/sinA＝AC/sinB=AB/sinC -⑤ （正弦定理）
条件をそろえたら、次は三角形の面積を計算します。
計算に使う辺はなるべく計算が少なくなるように考えて選びました。
△ABC=1/2・AB・BC・sinB
=cos3AcosA (ここまでで正弦定理と２倍角の公式を使用）
=1/2（cos4A+cos2A）（加法定理を応用。cos(3A+A)とcos(3A-A)に使い、sinAcos3Aを消すためにそれぞれの差をとるとそうなる。）
このグラフが極大値をとったときに最大になるだろうと考え、最大値を計算します。
△ABC´＝cos2B+1/2cosB=2cos^2B-1+1/2cosB (=0とおく)
解の公式を使い、cosB=(-1/2±1/2√33/4)/4 ここで、A+B+C=180°より3/2B+C=180°なので0<3/2B<180°つまり0<B<120°
なので、-1/2<cosB<1であるので、cosB=(-1/2＋1/2√33/4)/4のみが適する。
増減表をかき、最大値を求める。 そうすると答えが導かれます。
第４問 不等式
大体できましたが、不等式を扱う際にすべてグラフを書いてグラフで考えていたので手間取りましたし、計算ミスもしてました。
計算はなるべく簡単に済ませるようにしないと計算ミスもしますし、時間も足りなくなるので、式変形をうまく行うことがポイントです。
まず、式を見た時にかなり複雑です。そのまま計算してもできなさそうですので、色々と考えます。
例えば、f(x)=aと置いた方がいいのか・・・
微分と関係しているのか・・・
式変形をどうするか・・・
色々と考えると、f(x)≦{f(x)｝^3-2{f(x)}^2+2
は、f(x)-2≦{f(x)｝^3-2{f(x)}^2={f(x)}^2(f(x)-2)と変形できることがわかります。
結構きれいな形に変形できたので、これは良いのではないかと考えます。問題は解けるように作られています。
計算が煩雑すぎて解けないという問題はほとんどありません。
さらに式変形をすると、0≦({f(x)}^2-1)(f(x)-2) -①
①は、黄色の部分かつ青の部分が0以上である {f(x)}^2-1≧0かつf(x)-2≧0 －A
黄色の部分かつ青の部分が0以下である {f(x)}^2-1≦0かつf(x)-2≦0 －B
AまたはBの場合において成り立ちます。
Aのときはつまり、{f(x)}^2-1=(f(x)+1)(f(x)-1)≧0よりf(x)≧-1,1≦f(x) かつ f(x)≧2 より
f(x)≧2 －A’
Bのときはつまり(f(x)+1)(f(x)-1)≦0より-1≦f(x)≦1 かつ f(x)≦2より、
-1≦f(x)≦1 －B'
Aのとき、A'より、ax+b≧2(x^2+x+1) 0≧2x^2+(2-a)x+2-b ここで、ｙ＝右辺のグラフは、
下に凸なので、グラフの形から考えてすべてのxで0以下にはならない
よって、不等式は全てのｘで満たされることが確実になく不適。
Bのとき、B'より、-1≦(ax+b)/(x^2+x+1)≦1 -x^2-x-1≦ax+b≦x^2+x+1
つまり-x^2-x-1≦ax+b －② かつ ax+b≦x^2+x+1 －③
②のとき
0≦x^2+(1+a)x+1+b=(x+(1+a)/2)^2-(1+a)^2/4+b+1
これがすべてのxで成り立つためには、右辺=yのグラフの切片にあたる-(1+a)^2/4+b+1≧0 つまり b≧(1+a)^2/4-1であればよい。
③のときも同様にして(1+a)^2/4-b-1≧0 つまり b≧-(1+a)^2/4+1であればよい
以上より図示すると答えが得られる。
第５問 整数
これはわかりませんでした。自然数の問題です。
第６問 微分法、積分法
これもわかりませんでした。三角形が２等辺三角形であることがわかるというところまではできましたが、それより先はどうすればいいのかわからず解けませんでした。
以上が京大数学2014を解いてみた感想と解説になります。
第１問、第２問、第３問、第４問はなんとか押さえたい所ですが、第５問、第６問はなかなか難しいです。
思うのは、解答を見ればこうすればいいというのがわかるものの、自分の力でそれを考え出してしかも時間内に解くというのが難しいということですね。
しかも、受験の場合には１発勝負というプレッシャーもありますし、本番に緊張して解けなくなるということもあると思います。