2016年京大数学２問目

問題は以下のページから（河合塾のサイトです）

２問目

素数に関する問題

まず、様々な数を代入してどうなるかやってみる。

p=2 q=3

であれば、与式は17となり、素数

p=2 q=5

であれば、与式は57となり、素数でない。

その後、考えた結果

p^qとq^pの組み合わせが偶奇であるときに限り、与式は素数となりそうである。

（例：2+4=偶数　1+3=偶数　1+5=偶数　2+5=7奇数　3+6=9奇数）

そして、p^qが偶数になるときは、pが偶数であるときに限られる。（p、qは対称性からどちらを偶数にしても結果は同じ）

pは素数であり、偶数の素数は2しかないので、p=2

このとき、q^pは奇数とならなければ与式は素数でない。

よって、qは奇数である。q>3

与式は、2^q＋q^2　となる。

p<qで考えてみる。

そして・・・

とやってみたが、ここでゲームオーバー

答えを見てみると、合同式を使うっぽかった。

僕が受験した10年前は、合同式は範囲になかったので、知らなかった。

以下は、合同式を使わない解法

q>3のとき

2^q=2M (p<q<3よりM≧4） q^2=2N+1（p<q<3よりN≧4）とおける。

2^q+q^2=2M+2N+1=2(M+N)+1

となり、与式は３の倍数。よって、与式は素数ではない。

ただし、p=2 q=3のときは確かに素数であったため、このときに限り素数である。よって、求める素数は17