2016年京大数学１問目

京大は実力が足らず、受験しませんでした。受験したのは１０年ほど前です。

問題は以下のページから（河合塾のサイトです）

１問目

最大値を求める問題。

最大値を求める問題というのは、ほとんどの場合、微分してみればできる。

今回も微分してみる。

しかし、式が複雑になり、解けない。-①

とすると、微分して解決できないのではないかと考えた。

与えられた範囲ではsinθは0以上1以下。cosθも0以上1以下。

これが何か関係あるのか？と考えるが、解決できそうもない。

とすると、実験だろうか。数学的帰納法。

n=2のときどうなるか・・・やってみたが、最大値はcosθが1/2のとき最大となった。

n=3のときどうなるか・・・やってみたら、最大値はcosθが1/3のとき最大となった。

以上のことから、最大値はcosθ=1/nのときでありそうだと、予想してみる。

ここからは、最大値をcosθ=1/nを満たす数であると仮定する。

n=2のときは実際にさっき確かめた。

n=kのときに最大値がcosθ=1/nを満たす数であると仮定する。

与式＝最大値＝(1+cosθ)sinθ^(k-1) 　ただし、cosθ=1/k

n=k+1のときにどうなるかを考える。

n=k+1のときに・・・

与式＝(1+cosθ)sinθ^(k-1)sinθ　ただしcosθ=1/(k+1)

cosθが1/kではなく1/(k+1)となり小さくなっているので、黄色の部分のsinθは大きくなっている。（単位円で考えて）
範囲は0≦θ≦π/2も考慮して。

また青の部分はn=kのときの仮定より最大値をとる。

以上のことから、n=k+1のときも最大値をとる。

よって、与式がcosθ=1/n満たすときに最大値をとる。

　　　↑

以上のは間違いでした。cosθとsinθの値がn=kではなくn=k+1のときに変化しているので、青の部分も変化しています。

そのため、青の部分はn=kで成り立つと仮定した場合の値と異なるため、n=k+1の場合に、

n=kで青の部分が最大値をとるという仮定を使うことができません。

ここまでできたが、

sin^(n-1)θをうまくnで表せない。-②

答えを見てみると、①、②のときに、式変形をうまく行うとよいらしかった。

式変形がうまくできるかどうかがポイント。ポイントはわかるが、このような能力がどうしたらつくかが謎。

（２）も式変形が重要。

まぁ、受験したのも10年くらい前なので、今となっては能力も落ちているが、過去でもできたのか？よくわからない。